等比数列国际象棋故事（等比数列里的国际象棋奥妙，如何以智慧破解棋局）

漫谈国际象棋起源的传奇

raffiniert ist der herrgott, aber boshaft ist er nicht .

——albert einstein

subtle is the lord, but malicious he is not.

——albert einstein

天意高难问，但是，天之道利而不害。

—— 李轻舟 集句

国际象棋

国际象棋有2000年历史，熔竞技、艺术与科学于一炉。它起源于亚洲，在伊斯兰黄金时代由阿拉伯人传入欧洲，现在已经成为风靡全球的两人对弈棋类游戏。下国际象棋可以开发智力，提高逻辑思维能力。列宁说过：“国际象棋是智慧的体操。”俄罗斯棋王卡斯帕罗夫智商高达190，令人惊叹。关于国际象棋起源的传奇故事有很多个版本，本文第一部分分享的是巴西数学教授马尔巴塔罕的版本。第二部分分享的是苏联科普作家别莱利曼对这个象棋故事的解说和分析。第三部分是对以上资料的评论和相关数学原理的介绍。第四部分是附录和花絮。

一

数数的人巴睿弥智·撒米尔，在此章为众虔信者的主公，巴格达的哈里发穆他辛姆·比拉述说有关棋戏起源的知名传奇。

□□“从前，印度有一位王公名叫伊达瓦，是塔里加纳地的统治者，但由于古代文件的记载模糊不明，他在世与统治的确切时期已不可考。不过若说许多印度史家都认为他是当时最富有、也最慷慨的君王之一，这倒是很公允的说法。

□□战争，却带来致命战火，打乱了伊达瓦王的人生；令人惋惜的磨难，吞噬了君王享逸的乐趣。但是身为王者，职责所在必须保护臣民安居乐业，因此这位宽宏的仁君，被迫举起作战的利剑，一马当先领着他的小小军队，击退了野心冒险家瓦拉古突然的来犯与残暴的攻击，史上称后者为卡利恩之王。

□□敌我双方的部队剧烈交战，达卡辛那战场上死尸横野，撒布杜河奔流的圣水全被鲜血染红。根据史家记载，伊达瓦王极具世间少有的军事才能。进攻之前他镇定地策略谋画，然后又如此技巧准确地执行；诡诈来犯的敌人原本要毁灭他王国的宁静，结果却遭他全数歼灭。

□□不幸的是，他虽战胜了疯狂的瓦拉古，却同时也付出许多重大的苦涩牺牲。众多年轻战士为了王座与王朝的安全，付出他们年轻的生命。战场上的死亡将士之一，是阿扎密耳王子，伊达瓦王的爱子，胸口被一支利箭射穿。在战事进行到高峰之际，阿扎密耳王子为守住战略要地而牺牲了性命，却为国家确保了光荣胜利。

□□血淋淋的战役结束了，王国的疆土保住了，伊达瓦王回到他在安卓拉的豪华宫室，却严禁举办传统的喧闹游行，这是印度人庆祝凯旋胜利通常必有的盛典。他回到后庭私室，再也不肯出来公开露面，除非发生真正重大的问题，攸关子民的福祉利益，愿意上朝与大臣或婆罗门智者商议。

□□岁月如逝流去，那场沉痛战役的苦涩记忆却未尝消减，反而变得愈发沉重，将伊达瓦王更打入哀伤苦痛，消沉在悲伤懊悔里面。纵使拥有再富丽的宫室、再多的大象战利品、再巨量的珍宝，却失去了世上唯一令你觉得值得一活的事物，这一切又有何益处呢?在一名无可安慰、永远忘不了失去爱子的父亲眼中，物质的财富又有什么价值呢？

□□王始终无法忘却阿扎密耳王子战死的那场战役，不能将当时战场上的消长变化从脑海中排除。可怜的君王度过日夜时光，一个时辰又一个时辰，不停地在一只大型沙盒之内，描画出己方部队在那场攻势中的调度移动。这一道沙痕，代表步兵的推进；另一边平行的沟线，是战象的进攻。稍微下方的位置，以对称圆圈阵势排出的队伍，则是一名老队长指挥下的骑兵师旅，人称他蒙有月神塔卓拉的庇佑。战场中央，王画出敌军在这里列阵。敌方之所以会被逼到如此不利位置，正是王奇技用兵策略的结果，最后也因此轻易并决定性地将敌军击溃了。

□□完成了这张战场双方列阵图，连同所有他能记得的细节，王又把它们全部抹去，然后又从头来过，再度开始。仿佛藉由重新再经历一次过去，重尝心中所有的痛苦折磨，就可以从中得到某种快慰。

□□每日清晨，当年老的婆罗门僧侣们抵达王宫，前来聆听吠陀经的诵读，王早已在沙盒中画了又抹去那幅他永远都忘怀不了、也停止不了去画的战阵图。

□□‘唉，不快乐的王！’他这些忧虑的僧侣喃喃叹息：‘他就如同被真主夺去了理智的奴隶一般。只有强壮又有悲悯的保护大神，才能拯救他。’

□□于是众婆罗门为他们的王祷告，焚起有香气的树根枝桠，恳求病患者的永恒保护神帮助塔里加纳的王。

□□终于，有一天，王接到通报：一名谦卑而贫穷的年轻婆罗门恳请要来见王。他已经求见多次，却都被王拒绝了，王声称自己的灵性还未强壮到可以接见访客。可是这一回，王同意了他的请求，命令把这名年轻的陌生人带进宫到他面前来。

□□进入谒见厅后，年轻的婆罗门受到诘问，依礼由王的一名贵族进行。

□□‘你是何人？从何处来？来此有何求于这位依照毗湿奴天神的旨意，担任塔里加纳之王与之主的君侯？’

□□年轻的婆罗门答到：‘我名叫西撒，来自那米尔村庄，距离这座辉煌的王城约有三十天步行路程。有消息传到我居住的那地，说我们的王日夜受到深沉的忧郁所苦，因战争的命运将我们的王子自他身边夺去而悲痛不已。我想，我们高贵的君王若将自己关在宫中不见人，犹如眼盲的婆罗门屈服于自身的苦痛，那将是一件多么可怕的事。因此，我想也许可以发明一种游戏，令王分心，打开心房，接受新的乐趣，或许会是一件有用的事。这就是我特意带来献给我王伊达瓦的谦卑礼物。’

□□这位印度王公有个毛病，一如众多历史书上记载的所有伟大哈里发，就是好奇心极盛。一听这名年轻僧侣要送他一份新奇游戏，王便急着想要观看评估这份礼物，一刻也不能耽搁。

□□西撒便将一块板子拿到伊达瓦王的面前，只见板上划分成六十四个大小相同的格子，板面上又散置着一白一黑两组游戏子，看不出任何特意安排。这些塑成各种形状的对象，是以对称方式放在盘上；还有奇特有趣的规则，规范着它们的移动。

□□西撒耐心地向王以及聚在四周的王公大臣解释，这个游戏的目的与基本规则：

□□‘对弈双方，都各有八枚小子，称作兵丁，代表己方送出去阻挠敌方进攻的步兵。支援兵丁前进 则是战象，由较大、更具威力的大子代表。战斗中绝对少不了的骑兵，也出现在这场游戏里面，由另外两子担任，可以像马一样跳越其他棋子。为加强攻击力量，还有两名代表诸侯领主的棋子，这是两名受尊敬的贵族武士。又有一子象征人民的爱国精神，称作后；这个子可以做多种移动，比其他子都更有效率与威力。最后完成整个队伍的是一枚主要棋子，此子单独一子什么事都不能做，可是一旦有其他棋子支持请，却可以变得非常强大。这个子就是王棋。’

□□伊达瓦对这个游戏的规则如此感到兴趣，立刻追着发明者问：

□□‘为什么后比王强大呢？’

□□‘后比王强，’西撒解释：‘是因为在这个游戏里面，后代表着全国百姓的精神。王座最伟大的力量，全寄于它的子民的高举。王怎能逐退敌人的来犯，如果围绕在他身边的人没有牺牲奉献的决心与承诺的付出，缺乏愿意保护家国王权的精神？’

□□几小时后，王很快便掌握住游戏的所有规则，更在一场精彩对弈中打败了他的王公大臣。

□□对弈当中，西撒不时恭谨地介入，以澄清下法，或建议另一种攻势或守势的布局。

□□玩到一个节骨眼上，王极惊异地发现，不断变化地移子走棋之下，此时盘面竟摆出与达卡辛那一役完全相同的阵势。

□□‘请注意啊，’这位年轻的婆罗门说：‘若要赢得这场战役，这只贵族武士势必牺牲不可……’

□□他精确地指向那枚棋子，正是王于战斗最酣之际，在队伍最前头所放下的那一枚。聪明的西撒便这样点明了一件事：有时候一名王子之死，是保障其子民平安自由的必要牺牲。

□□听到这番话，伊达瓦王的心灵充满兴奋激昂，不禁说道：‘我真不敢相信，世间竟有聪明人造出这么有趣又具指导意义的游戏！藉由移动这些简单的棋子，我已经学到了一件事：身为君王，若没有臣民的支持与献身，这样的君王毫无价值。我也学到：有时候为赢得一场重大胜利，区区一名小兵丁的牺牲，价值可能与牺牲一颗有力的棋子不相上下。’

□□于是王转身向年轻的婆罗门道：‘我想重重酬谢你，我的朋友，你这份精彩礼物令我解脱了之前的悲痛哀愁。因此告诉我你想要什么，只要在我所能给予的范畴之内都行，好让我向你显示：对于那些配得回报之人，我会是多么感激。’

□□西撒却似乎完全不受王的慷慨提议所动。他的表情平静，未露出任何兴奋，也没有惊异之色。年轻僧侣的无动于衷，令朝臣大为惊讶。

□□‘英明伟大的主公！’年轻婆罗门不卑不亢地回复：‘为这份带到您面前的礼物，我什么都不企求，因为没有任何事情，能比知道我已为我们的塔里加纳之王解脱了无尽悲哀，更能令我满足了。因此我已经获得回报，其他任何奖赏都只是多余的。’

□□我们的好国王，对这个答复露出几分轻蔑不信的一笑，因为印度人通常非常贪婪，这种不以为意的淡然极为罕见。他无法相信这名年轻人的答复真有诚意，因此坚持道：‘年轻人，你对物质事物的不屑与淡漠，实在令我惊讶。但是谦逊过了头，就如同吹熄了烛光的微风，令老年人陷入夜晚长时的黑暗。人生的路上险阻重重，唯有企图心才能将他引到一个设定的目标；因此人的精神心灵，务必向这种企图雄心屈服。所以你应该莫再迟疑，快快选择一项礼物，分量可以和你带给我的礼物价值相称。你喜欢得一袋金子吗？还是想要一箱珠宝？一座宅邸如何？或者赐你一处行省，让你自家统治管理？千万小心作答，因为你必得到你所要求的报偿，我言出必行！’

□□‘王都这么说了，若再拒绝就是有违王命，而不仅是失礼了。’西撒只好回答：‘如此一来，我愿意为你我发明的这个游戏接受赏赐，而这赏赐的分量也应合乎您的慷慨大方度。不过，我不希望得到金子、土地或宅邸。我想要小麦粒作为赏赐。’

□□‘小麦粒？’王惊呼，完全不能掩饰他对这出人意表的要求的惊讶：‘我怎么能用如此不起眼的东西来酬谢你呢？’

□□‘再简单也不过，’西撒解释道：‘请赐给我一粒麦子，这是为棋盘上的第一格。然后第二格两粒，第三格四粒，第四格八粒，以此类推，每一格是前一格的加倍，一直到第六十四格也就是棋盘上最后一格为止。我祈求，王啊，为符合您慷慨大方的赠予，就请以我刚才提出的方式将小麦粒赏赐给我。’

□□此时不但国王本人，连同所有贵胄、婆罗门僧侣，还有其他在场每个人都忍不住哄堂大笑起来。这么奇特的要求！事实上，所有比西撒眷恋世间物质事物的人，听了他的要求都惊奇不置。这个年轻人，明明可以获得一省或一座府第，却竟然只想要几颗麦粒。

□□‘呆子啊！’王大喊：‘你从哪儿学来这等轻视财富的念头？你要求的报酬太可笑了。你一定知道，单单是一把小麦穗就可以有数不清的麦粒。所以只消几把麦穗，我就可以赐下你所要求的全部麦粒，甚至还要更多。依照你的算法，棋盘每移一格就多加一倍粒数；你索取的这个报酬，甚至连我们国中最小的村庄都喂饱不了几天。但是好吧，既然我先前已经答应你要什么就给你什么，我就把你刚才要求的赐给你吧。’

□□于是王吩咐将朝中最能干的数学家带到陛前，命令他们把该付给年轻西撒的麦粒算个妥当。几小时密切研究演算之后，这些智慧人回到厅中，将他们算好的结果呈报王上。

□□王停下手中正在进行的棋局，问数学家道：‘我得付给年轻的西撒多少粒麦子，才合乎他的请求？’

□□‘慷慨大度的王啊！’他们当中最智慧的一位答道：‘我们已经算好了麦粒的总数，获得的结果完全超乎人所能想象。我们仔仔细细算过，一共需要多少担盛装这些麦粒，结果竟得到这样的结论：您必须付给西撒的麦粒，总量有一座山那么大，底部直径等于塔里加纳城，高度比喜马拉雅山高出十倍。即使全印度的田地都种小麦，两千个世纪都不够收成您所应允给年轻西撒的麦粒。’

□□要怎么才能形容伊达瓦王以及他朝中显贵的惊诧呢？这位印度王终于领悟到——或许是他这辈子头一遭——他竟然无法实现自己许下的承诺。

□□根据当时史家的记载，结果西撒一如良好的臣民所当为，完全无意令他的君王为难。他公开地放弃了自己的要求，因此解除了王者一言既出的束缚，然后他恭敬地向王禀告：

□□‘王啊，请思考智慧的婆罗门们一再重复的那项真理：世间最聪明的人，有时不仅被数字的表象蒙蔽，而且也会被表面的谦卑所欺瞒，殊不知看似谦卑的背后却是真正的贪婪野心。因此若不能单凭自身的智慧估算出债务的分量，就轻易承担下债务，那人就会有烦恼了。多多赞美而少少应承，才是明智的人。’

□□停了一会之后，他又说：‘我们自婆罗门的虚无学问所学到的东西，往往比直接的生活经验为少，但是后者给予我们的教诲，却常常被人忽略！一个人活得愈久，就愈被道德情绪所困。一会儿悲，一会儿喜；今天狂热，明日又变为温吞冷淡；这一刻野心勃勃，下一刻却懒散了无情绪——因此一个人的心境时刻改变。只有真正聪慧明智之士，饱学于性灵之律，才能将自己超脱于繁琐困顿与无常的心绪变化。’

□□这番话，如此出人意料，却又如此智慧，深深地打动了王的心。之前应允年轻婆罗门的如山麦粒既已作罢，王现在改立西撒为他的头号贵族。

□□于是年轻的西撒，以聪颖的棋戏为王解忧，又以智慧审慎的忠告进言，他将祝福倾注于众人与众人的王，使王座更加安定，令国家获得更大的荣耀。”

□□撒米尔的期棋戏起源故事，迷住了哈里发穆他辛姆。他把书记召来，下令将西撒这则传奇记载在特制的棉纸上，并珍藏在一具银制的柜子里面。

□□然后我们慷慨的君王，也考虑他是否该赐给数数的人什么礼物：一袭荣誉外袍，或一百锭金子。

□□“真主透过慷慨之人的手，向世人发话。”

□□这样的慷慨，表现在巴格达的统治者身上，令人感到欣喜。厅中的朝臣都是玛勒夫大人与诗人爱以兹德的好友。他们也赞同地倾听着数数人的话语。

□□撒米尔谢谢王赐予他的礼物，便从厅中退出。哈里发将注意力转向他的政务，聆听他的部会大臣禀报，并作出贤明裁定。

□□我们在薄暮时分离开王宫。这是沙邦月八月之始。

二

这个传说就是这样，不过传说中所说的事情是否真的存在就不能确定了。但传说中提到的那份奖赏的确应该是这样一个数字，有耐心的读者可以试着计算证实一下。因为从第一格的1开始，每个格子的数字依次分别加上：1、2、4、8等数字，就是下一格应付粮食的数目。因此，皇帝应该为第64格棋盘支付的粮食数目，就是将2进行63次平方后的结果。

按照前章节中讲解过的方法，把最后一个数字乘2再减去1，我们就可以轻松地得知皇帝应付粮食数量的总和。所以要算出这个数字，我们就需要在2的63次方的基础上再乘2，最终需要计算的就是2的64次方（也就是64个2连续相乘）的结果： 2×2×2×2×…（共64个2相乘） 那么，怎样能使计算更简便一些呢？我们可以先将这64个乘数分成六组，每组中10个乘数，这样分完之后还会剩下4个乘数，再将这4个算作一组。这样我们可以快速地得出结果：10个2相乘等于1 024，4个2相乘等于16。也就是说，我们要求解的式子是：

1 024×1 024×1 024×1 024×1 024×1 024×16 接下来，我们再算出1 024×1 024=1 048 576。于是我们要计算的算式又变成了： 1 048 576×1 048 576×1 048 576×16 将这个算式算出来，得到的结果再减去1，就是那位发明者应得的粮食总数了。这个数字我们前文也已经提到了： 18 446 744 073 709 551 615 也许这样抽象的数字还不足以让大家想象出这个数字有多么庞大，所以我们再来算一下要容纳这些粮食需要多大的粮仓。已知：每立方米的空间大约可以放1 500万粒小麦。也就是说，这位发明者应得奖励的体积是12 000 000 000 000立方米（或者说是12 000立方千米）。假设粮仓高4米，宽10米，那么它的长度就要长达300 000 000千米——这个长度可是地球与太阳之间距离的两倍！ 因此，这位印度皇帝显然无法支付这样一笔赏赐。但是相对地，也有办法让他能够免于履行这个不可能完成的约定——他只要让塞塔亲自去清点自己应得的小麦就好了。

如果塞塔真的去数那些麦粒，就算他日以继夜地不停工作，每秒钟数一粒粮食，一昼夜数86 400粒粮食（俄斗）（注：俄斗为旧俄制体积单位，1俄斗=26.239升），不眠不休地工作10天10夜也只能数出100万粒粮食，这就意味着，单是1立方米的小麦他就需要数上大半年。按照这个速度，他数上10年，数出的小麦也到不了100俄担（注：俄担为旧俄制体积单位，1俄担=8俄斗，大约为210升）。更甚至，即使塞塔在他的有生之年中一刻不停地数小麦，他能数出的数目相比于他所要求的赏赐数目也只是九牛一毛而已。

注 释

这里的象棋指的是国际象棋。国际象棋到底起源于哪里，世界上现在还没有定论。目前西方大部分学者认为这种游戏起源于2000多年前的古印度。 大约在公元2～4世纪时，古印度流行着一种名为“恰图兰加”的棋盘游戏，这个游戏的棋子包含车、马、象、兵四种，正是对应的当时的军队制度。游戏通过掷色子来进行，目的是吃掉敌方的所有棋子，而并非杀死对方的王。许多人认为“恰图兰加”就是国际象棋的前身。 除此之外，还有一种观点认为国际象棋起源于中国。20世纪70年代，英国学者李约瑟在其著作中指出，象棋是由公元前10世纪时中国的古棋“六博”发展而成。 1984年版的《大英百科全书》中说到国际象棋的起源，重点还是介绍了印度起源说，但同时也提到：“虽然有一些最早形式的国际象棋被发现于中国的远古时代。”

三

这个国际象棋起源的传奇引人入胜，文笔优美，情节曲折，堪称最好的故事版本。遗憾的是少了一个数字，一个20位数。我也不知道是什么原因，故事缺少了这个重要的数字。看完这个故事后，我对棋类游戏有了更深刻的理解。可以这样说，无论围棋还是象棋，也无论中国象棋还是国际象棋，本质上都是一种二进制的数学游戏。这样说，对棋类怀有深厚感情的棋迷也许接受不了，但事实如此。两人对弈的棋类游戏属于零和博弈，全局最优解大于局部最优解。这个故事也引出了一个二进制的话题，请听我慢慢道来。

图1

上图的第四列是个神奇的数列，它的首项是2的0次幂，第二项是2的1次幂，第三项是2的2次幂，以此类推，是个无穷的数列。这个数列是二进制计数法的基础。这个数列没有重复的项，每个整数都可以由这个数列中的若干项组合而成，而且组合方式是唯一的。有鉴于此，二进制计数法在计算机科学和大量应用数学领域内极为有用，是非常重要的数学工具。如果能够真正看懂上图，自然就能够理解二进制的原理。这张图看上去非常简单，但是蕴含了深刻的原理。没有经过深入地思考和大量的实践，是难以深刻理解的。让我们先看几个问题吧。

李永乐老师在b站视频里提出了一个问题：10根手指能够表示多少个数？

图2

需要指出的是，图示第三题的答案是错误的。最后一个纸箱应该装512-23=489个苹果，因为一共只有1000个苹果，而不是1023个苹果。例如客户需要700个苹果，就给他编号为1、2、5、7、8、10的这六个纸箱就行了。

简单说下二进制和十进制的互换。例如二进制数1101001转换为十进制数：首先判断只有4个1，分别位于bit0位、bit3位、bit5位和bit6位，再计算这4个数位对应的2的次幂之和，即按图1找到1、8、32、64并相加等于105，0就不计算，这就是答案。

十进制数1001转换为二进制：首先判断1001小于1024，那么这个二进制数最高位是bit9位的512，写下1，bit8位的256加上也不够，再写下1，bit7位的128加上也不够，继续写1，bit6位的64加上也不够，接着写1，bit5位的32加上也不够，接着写1，bit4位的16加上就超过1001，于是写0，还差9就满1001了，于是在bit3位和bit0位写1，bit1位和bit2位写0，答案就是1111101001。用文字解释显得很啰嗦，实际操作如果你很熟练那么快得很。

如果有人考你这个问题：一个20位数开64次方，根是多少？那么不需要问他这个数是多少，就可以告诉他答案是2。因为一个20位数开64次方根的对数在0.29至0.32之间，而这里属于整数的对数只有一个：0.301，那就是2的对数。最后你还可以告诉他那个20位数就是2的64次幂=18 446 744 073 709 551 616

别莱利曼的文章提到了日地距离这个问题。别莱利曼是苏联科普作家，卫国战争中饿死在列宁格勒，受到时代的局限，无法精确回答这个问题。科技在不断进步，知识也需要更新。今天我们能够做到的最好的回答是由金星的雷达测距求得的。光速取值299792458米/秒，光行时为499.004782秒，即8分19.004782秒。由此确定一个天文单位的距离为：

499.004782×299792458=149597870（千米）

这就是今天我们对日地平均距离这个问题的最好回答。（约等于1.5亿公里）

国王应该给西撒多少麦粒呢？用十进制数表示是：18 446 744 073 709 551 615，读作一千八百四十四吉六千七百四十四兆零七百三十七亿零九百五十五万一千六百一十五；用二进制表示就是：
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000-1=
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

2的64次幂换算成二进制就是1后面64个0,是个65位数；把64格相加等于2的64次幂-1，二进制表示等于64个1，是个64位数。这个数字之巨大超乎想象。按照粮仓体积每立方米储存1500万麦粒计算，如果粮仓高度4米，那么粮仓的面积需要达到300万平方公里才能储存这么多的麦粒，而印巴分治后印度的国土面积约298万平方公里，可见这个数字是多么巨大。

因为这个数字太大了，我的电脑处理这个数字很困难。我的台式机是x86的windows 10操作系统，安装的excel版本是2010，用系统自带的科学计算器和excel的power函数都不能正确计算出2的64次幂，需要64位的windows操作系统才行。如果数字小一点，就没有问题。我测试出32位windows 10操作系统的极限是可以用power函数计算出2的36次幂等于68719476736

再提一个看上去很难的问题：不计算判断2的64次幂减1是质数还是合数？并简述理由。

这个问题其实小学5年级学生都能够解答。中学生直接就判断出是合数，理由是64不是质数。小学生不懂这个，但有其他方法。小学生会观察图1的第四列那个神奇的数列——2的连续次幂，可以发现尾数循环周期是4，循环节是2486，于是可以判断2的64次幂尾数是6，减1后尾数是5。根据自然数的整除性特征判断，尾数为0或5的自然数都可以被5整除，所以是合数。

对比观察图1的第三列以及第四列那个神奇的数列——2的连续次幂，你有什么发现吗？1544年，德国数学家斯蒂菲尔（michael stifel，1487-1567）发表了《整数的算术》一书。书中他把第四列那个等比数列称为原数，第三类那个等差数列称为代表数。他指出两个原数相乘，等于它们对应的代表数相加之和所对应的那个原数；两个原数相除，等于它们对应的代表数相减之差所对应的那个原数。举个例：计算8×16可以先把这两个原数对应的代表数3和4相加得7，再找到代表数7对应的原数是128，就把乘法运算变成了加法运算，同理可得，除法运算也能够变成减法运算。这完全符合幂的运算律。可惜的是，斯蒂菲尔就此止步了，没有发明对数。1614年，苏格兰数学家纳皮尔提出了对数的概念。1637年，法国数学家笛卡尔发明了指数，比纳皮尔发明对数晚了20多年。1770年，欧拉第一个指出“对数源于指数”，这时对数和指数都已经发明了100多年了。对数大大简化了计算，把乘除法转换为加减法，乘方和开方转换为乘除法，是17世纪数学的三大成就之一，具有重要意义。拉普拉斯说，对数的发明将几个月的计算缩短成几天的工作，等于延长了天文学家的寿命。伽利略说，给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。

说到这里不得不提到约翰内斯·开普勒 johannes kepler (1571~1630)，名垂青史的“星空立法者”。1609年，《新天文学》（a new astronomy）出版，开普勒在书中发表了行星运动第一定律和第二定律。(laws of planetary motion)：

第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。

第二定律：行星和太阳之间的矢径在相等时间内扫过的面积相等。

十年后，即在1619年出版的《宇宙谐和论》（harmony of the worlds）中，开普勒发表了行星运动第三定律：行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。

我们看到的是行星运动三大定律的简洁和完美，看不到的是面对浩如烟海的第谷留下的观测资料的开普勒所付出的巨大的艰辛劳动。巨大的计算量是多么繁重的体力劳动啊，在已经发明了对数的时代，我不知道是何原因，伟大的开普勒没有使用对数，凭借坚忍不拔的毅力发现了行星运动三大定律。也只有他才有资格说出下面这句话：

上帝等了六千年才有一个人理解他的作品。

——开普勒写于完成三大定律之后

想当年，陈景润研究哥德巴赫猜想，演算的草稿纸装满了一麻袋又一麻袋，这是多么顽强的毅力啊，这是何等艰巨的创造啊！外国数学家用计算机，而陈景润仅用一支笔，靠笔算攀登科学高峰。1966年陈景润发表了陈氏定理，证明了“1+2”。向古今中外的伟大科学家致敬！他们付出巨大艰辛的努力，完成了一个又一个壮举，像漫天的星辰一般，照亮了人类历史的星空。

四

本文写作参考书目：

1.《数学天方夜谭：撒米尔的奇幻之旅》，马尔巴塔罕 著，郑明萱 译，猫头鹰出版社，2009年。

2.《星星离我们有多远》，卞毓麟 著，湖北少年儿童出版社，2017年。

3.《德尔斐的囚徒:从苏格拉底到爱因斯坦》，李轻舟 著，科学出版社，2017年。

4.《趣味魔术与数学故事》，雅科夫·伊西达洛维奇·别莱利曼 著，雪君 译，江西教育出版社，2018年。

5.《趣味代数学》，雅科夫·伊西达洛维奇·别莱利曼 著，丁寿田 朱美锟 译，中国青年出版社，1956年。

棋子（1994年）

词 潘丽玉

曲 杨明煌

演唱：王菲

想走出你控制的领域

却走近你安排的战局

我没有坚强的防备

也没有后路可以退

想逃离你布下的陷阱

却陷入了另一个困境

我没有决定输赢的勇气

也没有逃脱的幸运

我像是一颗棋

进退任由你决定

我不是你眼中唯一将领

却是不起眼的小兵

我像是一颗棋子

来去全不由自己

举手无回你从不曾犹豫

我却受控在你手里

想走出你控制的领域

却走近你安排的战局

我没有坚强的防备

也没有后路可以退

想逃离你布下的陷阱

却陷入了另一个困境

我没有决定输赢的勇气

也没有逃脱的幸运

我像是一颗棋

进退任由你决定

我不是你眼中唯一将领

却是不起眼的小兵

我像是一颗棋子

来去全不由自己

举手无回你从不曾犹豫

我却受控在你手里

我像是一颗棋子

来去全不由自己

举手无回你从不曾犹豫

我却受控在你手里

我却受控在你手里

我却受控在你手里